Kellyho kritérium sázení - vzorec a praktický výpočet | KURZLAB

Kellyho kritérium jsem poprvé potkal v knize o investování, ne o sázení. Původně ho v roce 1956 vyvinul John Kelly z Bell Labs pro optimalizaci telekomunikačních signálů. Až později si sázkaři a investoři uvědomili, že stejný vzorec řeší fundamentální otázku: kolik vsadit, když máte výhodu? Po letech testování mohu říct, že Kelly je nejelegantnější odpověď na tuhle otázku – ale také nejnebezpečnější, pokud ho použijete špatně.

Výzkum založený na xG modelu na 11 sezónách Bundesligy dosáhl ROI kolem 10 % při průměrných tržních kurzech. Ale ROI samo o sobě neříká, kolik na každou sázku vsadit. Právě Kellyho kritérium spojuje edge (vaši výhodu nad bookmaker) s optimální velikostí sázky.

Kellyho vzorec – matematika za rozhodnutím

Kellyho vzorec v sázkové formě vypadá takto: f = (b * p – q) / b. Kde f je optimální podíl bankrollu na sázku, b je decimální kurz minus 1, p je vaše odhadovaná pravděpodobnost výhry a q je pravděpodobnost prohry (1 – p).

Prakticky: kurz 2,50, vaše odhadovaná pravděpodobnost výhry 45 %. Výpočet: b = 1,50, p = 0,45, q = 0,55. Kelly = (1,50 * 0,45 – 0,55) / 1,50 = (0,675 – 0,55) / 1,50 = 0,0833. Optimální sázka je 8,33 % bankrollu.

Pokud je výsledek vzorce záporný, Kelly říká: nesáz. Záporná Kelly hodnota znamená, že nemáte edge – kurz je horší než vaše odhadovaná pravděpodobnost ospravedlňuje. Tohle je jedna z nejcennějších vlastností Kellyho kritéria: nejen že vám řekne kolik sázet, ale také vám řekne, kdy nesázet vůbec.

Výzkum na Bundeslige ukázal, že systematický přístup k velikosti sázky – ať už přes Kelly nebo flat staking – je klíčový pro dlouhodobou profitabilitu. Nejde jen o to najít value bety, ale o to, jak je dimenzovat. A Kelly je matematicky optimální odpověď na tuto otázku – za podmínky, že vaše odhady pravděpodobností jsou přesné.

Příklad výpočtu krok za krokem

Pojďme si projít kompletní příklad z praxe. Analyzuji zápas české ligy. Na základě domácí formy, venkovní bilance soupeře, absencí a motivace odhaduji pravděpodobnost domácí výhry na 52 %. Bookmaker nabízí kurz 2,10.

Krok 1: b = 2,10 – 1 = 1,10. Krok 2: p = 0,52, q = 0,48. Krok 3: Kelly = (1,10 * 0,52 – 0,48) / 1,10 = (0,572 – 0,48) / 1,10 = 0,0836. Optimální sázka je 8,36 % bankrollu.

S bankrollem 50 000 Kč by Kelly doporučil vsadit 4 180 Kč. To je hodně – a právě tady většina lidí udělá chybu. Full Kelly předpokládá, že váš odhad pravděpodobnosti je přesně správný. Ale v praxi je váš odhad zatížen nejistotou. Pokud je reálná pravděpodobnost ne 52 %, ale 48 %, Kelly by doporučil nesázet – a vy byste vsadili 4 180 Kč na záporně hodnotnou sázku.

Fractional Kelly – proč profesionálové sází méně

Prakticky žádný profesionální sázkař nepoužívá full Kelly. Důvod je prostý: odhady pravděpodobností nejsou přesné. Vždycky je tam chyba – a full Kelly na nepřesné vstupy reaguje přesázkováním, což vede k obrovským drawdownům.

Řešením je fractional Kelly – používáte jen zlomek doporučené sázky. Nejběžnější je half Kelly (50 % doporučené sázky) nebo quarter Kelly (25 %). V příkladu výše: místo 4 180 Kč vsadíte 2 090 Kč (half Kelly) nebo 1 045 Kč (quarter Kelly).

Matematicky: half Kelly dosahuje 75 % dlouhodobého růstu full Kelly, ale s dramaticky nižší variancí. Quarter Kelly dosahuje 56 % růstu full Kelly, ale bankroll je téměř neprůstřelný. Pro většinu analytických sázkařů je half Kelly optimální kompromis mezi růstem a bezpečností.

Existuje i třetina Kelly (third Kelly), která je méně známá, ale pro mnohé sázkaře ideální. Sázíte třetinu doporučené částky, dosahujete přibližně 67 % dlouhodobého růstu full Kelly a maximum drawdown se typicky drží pod 15 %. Je to střední cesta pro ty, kdo chtějí vyšší růst než quarter Kelly, ale nižší volatilitu než half Kelly.

V mé praxi používám quarter Kelly. Je to konzervativnější, ale po zkušenostech s drawdowny u half Kelly jsem se rozhodl pro stabilitu. S quarter Kelly můj bankroll nikdy neklesl o více než 12 % od vrcholu. S half Kelly jsem zažil drawdown 28 %, který psychologicky testoval moji disciplínu na maximum. Podrobnější pohled na řízení bankrollu a rizika najdete v průvodci bankroll managementem.

Kdy Kelly funguje a kdy selhává

Kellyho kritérium funguje perfektně za dvou podmínek: vaše odhady pravděpodobností jsou přesné a sázíte nezávislé události. V praxi není splněna ani jedna. Vaše odhady jsou vždy zatíženy chybou – otázka je jen jak velkou. A fotbalové sázky nejsou zcela nezávislé – pokud sázíte na tři zápasy stejné ligy ve stejném kole, výsledky mohou být korelované (počasí, motivace, forma celé ligy).

Proto Kelly berte jako vodítko, ne jako příkaz. Pokud Kelly říká 8 %, sázím 2 % (quarter Kelly). Pokud Kelly říká 2 %, sázím 0,5 %. A pokud Kelly říká méně než 1 %, často nesázím vůbec – edge je příliš malý na to, aby stál za riziko, že můj odhad pravděpodobnosti je nepřesný.

Jednu situaci, kdy Kelly systematicky selhává, je třeba zmínit zvlášť: korelované sázky. Pokud sázíte na tři zápasy stejné ligy ve stejném kole, výsledky mohou být korelované – špatné počasí ovlivní všechny zápasy, motivační faktory poslední kola ovlivní celou ligu. Kelly předpokládá nezávislost sázek, a pokud tato podmínka není splněna, doporučované vklady jsou příliš vysoké. V praxi to řeším tak, že při více sázkách ve stejném kole jedné ligy snižuji unit na polovinu Kelly doporučení.

Jedna věc, která mi na Kelly nejvíc pomohla: naučil mě dimenzovat sázky podle přesvědčení. Před Kelly jsem sázel flat – stejnou částku na každou sázku. S Kelly sázím více na sázky, kde vidím větší edge, a méně na sázky s menším edge. Tohle samo o sobě zlepšilo můj yield o 2-3 procentní body, protože moje nejsilnější přesvědčení měla větší váhu.

Komplexní pohled na všechny aspekty analytického sázení najdete v kompletním průvodci sázkovými systémy.